「100枚のうち1枚が当たりのくじを、毎回箱に戻しながら100回引くと、少なくとも1回当たる確率は約63.4％です。」
「1/100の確率で当たるくじを100回引けば、必ず1回は当たるだろ？」
こんな疑問を持ったことはないだろうか。
1回引いて当たる確率は1％。
100回引くのだから、1％×100回で100％。
なんとなく正しそうに見える。
しかし、数学的には間違いである。
正解は、100回引いて少なくとも1回当たる確率は約63.4％。
つまり、100回引いても約36.6％の確率で一度も当たらない。
「なんでだよ！？」
今回は、この疑問を数学が苦手な中学生にも理解できるように解説する。
難しい公式を丸暗記する必要はない。
必要なのは、ちょっとした考え方の転換だ。
1. まず、1回の抽選でハズレる確率を考える
当たりの確率が100分の1ということは、100回のうち1回分が当たりに相当する。
では、ハズレる確率はどうなるだろう？
当たりが1回分なら、残りの99回分がハズレだ。
したがって、1回の抽選でハズレる確率は100分の99。
ここまでは簡単。
では、2回連続でハズレる確率はどうなるだろうか？
1回目にハズレる確率は100分の99。
2回目にハズレる確率も100分の99。
1回目にハズレて、さらに2回目にもハズレるためには、この2つの条件を両方満たす必要がある。
だから、掛け算をする。
100分の99 × 100分の99
計算すると、約98.01％。
つまり、2回連続でハズレる確率は約98％。
2. なぜ掛け算をするのか？
ここで、少しだけ考えてみよう。
「1回目がハズレる」ことと「2回目がハズレる」こと。
この2つは、両方とも起こらなければならない。
例えば、1回目にハズレても2回目に当たってしまえば、2回連続でハズレたことにはならない。
つまり、2回連続でハズレるためには、
-
1回目がハズレる
-
2回目もハズレる
という条件を両方満たす必要がある。
このように、独立した抽選で複数の条件がすべて成立する確率は、それぞれの確率を掛け算することで求められる。
では、3回連続でハズレる確率は？
100分の99を3回掛け算する。
4回連続なら4回掛け算する。
そして、100回連続なら100回掛け算する。
つまり、100回すべてハズレる確率は、
「100分の99」を100回掛け算した結果となる。
これを電卓で計算すると、約36.6％になる。
100回引いても、一度も当たらない確率が約36.6％もあるのだ。
3. ここで、視点を変えてみよう
さて、ここまでで「100回すべてハズレる確率」が求められた。
では、本題。
「100回引いて、少なくとも1回当たる確率」はどうやって求めるか？
ここで、次の2つの結果を考えてみよう。
① 100回のうち、1回以上当たる
② 100回すべてハズレる
この2つの結果は、同時に起こることはない。
そして、この2つを合わせると、100回の抽選で起こり得るすべての結果を網羅している。
つまり、
「1回以上当たる確率」と「100回すべてハズレる確率」を足すと、必ず100％になる。
ここが重要だ。
100％から、100回すべてハズレる確率を引けば、1回以上当たる確率が求められる。
今回の場合、
100％ − 36.6％ ＝ 63.4％
となる。
これが答えだ。
4. なぜ、わざわざハズレる確率を計算するのか？
ここが、今回の問題で最も理解してほしい部分である。
「当たる確率を求めたいのに、なぜハズレる確率を計算するんだ？」
の疑問に答えよう。
例えば、100回の抽選で当たるパターンを考えてみる。
-
1回目だけ当たる
-
2回目だけ当たる
-
1回目と2回目で当たる
-
10回当たる
-
50回当たる
-
100回すべて当たる
このように、当たるパターンは非常に多い。
それらを一つひとつ計算して、すべて足し合わせるのは大変だ。
一方で、100回すべてハズレるパターンは、ひとつの条件としてまとめられる。
「100回すべてハズレる」
これだけだ。
だから、簡単な方を計算する。
そして、全体の100％から引く。
当たるパターンを全部数えるより、当たらないパターンを計算した方が圧倒的に簡単だからだ。
数学では、このような考え方を「余事象」という。
余事象とは、ある出来事が起こらない場合を考えることで、元の出来事が起こる確率を求める方法である。
難しい名前だが、考え方は単純。
「当たる確率を直接求めるのが大変なら、当たらない確率を求めて、100％から引けばいい」
それだけだ。
5. 「100回引けば平均1回当たる」と「100回引けば必ず当たる」は違う
ここで、もう一つよくある勘違いを解消しておこう。
当たり確率1/100のくじを100回引く。
このとき、当たり回数の期待値は1回となる。
期待値とは、同じ条件で何度も繰り返した場合に、平均的にどのくらいの結果になると考えられるかを表す数字だ。
しかし、期待値が1回だからといって、実際に1回当たることが保証されるわけではない。
例えば、100人がそれぞれ1回ずつくじを引いたとする。
平均的には1人が当たることを期待できる。
しかし、現実には、
-
誰も当たらない
-
1人だけ当たる
-
2人当たる
-
3人以上当たる
という結果も起こり得る。
つまり、期待値は「保証された結果」ではない。
平均と確率を混同してはいけないのだ。
6. まとめ：数学は「考え方」を理解することが大切
今回の問題を整理しよう。
当たりの確率が1/100のくじを100回引く。
1回のハズレ確率は99/100。
100回すべてハズレる確率は、99/100を100回掛け算することで求められる。
その結果は約36.6％。
そして、少なくとも1回当たる確率は、
100％ − 36.6％ ＝ 約63.4％
となる。
ここで大切なのは、公式を暗記することではない。
「なぜハズレる確率を計算するのか？」
という疑問に対して、
「当たるパターンを全部計算するより、すべてハズレるパターンを計算する方が簡単だから」
と理解することである。
数学は、答えを丸暗記する学問ではない。
答えに至るまでの論理を理解する学問なのだ。
そして、これが理解できれば、当たり確率1/100のくじを100回引いても必ず当たるわけではない、ということを自分の言葉で説明できるようになるだろう。
100回引けば必ず当たるのではない。100回引いても約36.6％の確率でハズレ続ける可能性があるのだ。
これが数学的な事実である。
